Вероятность дефолта и его стоимость

В условиях углубляющегося экономического кризиса, словно пандемия поразившего финансовую и экономическую мировую систему, особую роль приобретает адекватная оценка «рисков». В актуальной дискуссии последнего времени на эту тему многократно указывалось, что во многом текущий кризис обусловлен серьезными просчетами и неточными методиками в этой сфере. Сложные производные финансовые инструменты, составляющие львиную долу так называемых «токсичных» активов, заразивших балансы крупнейших западных банков, оказались не по зубам современным технологиям риск-менеджмента, а сами банки заложниками сложнейших вычислительных алгоритмов, которые оказались несостоятельны в условиях реального стресса.

Однако, как это будет показано ниже, пробелы в системе оценки рисков, носят гораздо более глубокий характер, нежели просто неадекватная верификация отдельных моделей и вычислительных алгоритмов. Такая сравнительно простая сфера, как оценка риска дефолта и его стоимости, нуждается в серьезном рассмотрении и переосмыслении. Так, например, известная в прошлом Z-модель Альтмана, которая на основе оценки статистическим методом (множественный линейный дискриминантный анализ) показателей финансового состояния экономического субъекта определяет уровень риска банкротства, и более поздние модификации этой модели (например, модель ZETA [5]), до сих пор предлагаются к использованию в банковских технологиях оценки рисков (см. например [1], главу 5.9.1). Между тем как данная модель содержит явное фундаментальное противоречие, а именно: вероятность дефолта, определяемая в ее рамках, не зависит от времени, хотя очевидно, что вероятность банкротства предприятия в течение одного года не может быть равна вероятности такого банкротства в течение, например, двух лет.

Кроме оценки вероятности дефолта того или иного актива не менее, а возможно и более важным является определение справедливой стоимости того риска, который принимает на себя покупатель такого актива. Он должен получить доход от рискованных активов, часть из которых неизбежно обесценится из-за вероятного дефолта, как минимум не ниже дохода от безрисковых активов, например, государственных облигаций. Как будет показано ниже вероятность дефолта и его стоимость удивительным образом оказываются сведены к одному и тому же единственному параметру, имеющему достаточно простой «физический» смысл.

1. Введение.

При определении стоимости определенного актива или финансового инструмента доходным методом (данную стоимость условимся обозначать согласно традиции NPV - net present value или приведенная стоимость) используют метод дисконтирования чистого денежного потока (в терминах настоящей работы условимся называть его в дальнейшем доходом или прибылью Q), который генерируется данным выбранным активом. В общем случае прибыль и чистый денежный поток не равны друг другу, но для результатов настоящей работы это не существенно. Для определения NPV по имеющимся на момент оценки историческим данным по полученной прибыли и текущему финансовому состоянию актива делается прогноз будующей прибыли Q_i для каждого инвестиционного шага i (длина инвестиционного шага τ может быть любой - год, квартал или месяц, и зависит от конкретного актива) и определяется ставка дисконтирования R (для соответствующего масштаба времени τ):

(1)

где N(T) – число инвестиционных шагов на интервале времени T, которое можно определить как эффективное время инвестиционной отдачи актива или инвестиционный горизонт и которое, в общем случае, может быть неограниченно. Формула (1) является широко известной и найти ее можно в любой книге соответствующего содержания, например [1] или [2]. При этом ставка дисконтирования R традиционно определяется как сумма двух составляющих:

где R – базовая безрисковая ставка или ставка минимально возможного риска и ΔR – премия за риск, которая возрастает с увеличением степени риска актива, при этом общая премия за риск определяется как сумма премий по разным факторам риска. Если с определением R, как правило, проблем не возникает – для ее оценки можно взять, например, ставку доходности государственных облигаций, то с ΔR возникают серьезные методологические трудности, признаваемые всеми профессиональными оценщиками.

2. Основные факторы риска для дисконтируемого денежного потока.

Вообще говоря, величины будущих доходов Q_i являются случайными величинами, а их совокупность образует случайный процесс. Предположим, что мы знаем все статистические характеристики этого случайного процесса (во всяком случае, инвестор оценивает стоимость базового актива именно из этого предположения). В таком случае мы можем найти математическое ожидание m(NPV), которое мы и будем считать справедливой стоимостью базового актива (при определении данного математического ожидания мы предполагаем, что вероятность полной остановки платежей или «дефолта» равна нулю):

(3)

как видно из этой формулы, справедливая стоимость базового актива не зависит от дисперсии или волатильности (которая в свою очередь является функцией дисперсии) величины Q_i, которые в данном случае являются мерой риска, характеризующей возможную изменчивость потока прибыли Q. Таким образом, справедливая премия за риск, обусловленный волатильностью базового актива, равна нулю. Поскольку данный фактор риска не влияет на определение справедливой премии за риск, условимся считать, что везде в дальнейшем Q_i есть математическое ожидание случайной величины {Q_i}.

Другим, и в данном случае основным, фундаментальным фактором риска для базового актива является риск дефолта, т.е. определенная вероятность того, что в некоторый случайный момент времени T поток прибыли Q_i прекратится. Понятие риск дефолта часто включают в более широкое определенное понятие кредитного риска, в основе которого лежит, так называемое, кредитное событие. Однако для целей настоящей статьи разница в определениях несущественна, и мы условимся называть дефолтом любое событие, приводящее к прекращению платежей Q_i. Как мы увидим в дальнейшем, именно этот фактор риска и определяет величину справедливой премии за риск.

3. Вероятность дефолта.

Рассмотрим дефолт базового актива как случайное событие. Очевидно, что оно является достаточно редким и ординарным. В данном случае редкость и ординарность принимается в классическом определении теории случайных процессов. Если сделать еще предположение о стационарности случайного процесса дефолта, то есть допустить, что на всем инвестиционном горизонте нет заранее определенных моментов времени, когда вероятность наступления дефолта имеет большее или меньшее значение, чем на остальных промежутках времени, что в первом приближении очень естественно, мы получим стационарный пуассоновский поток событий, характеризующийся величиной λ - интенсивностью потока событий. При этом статистические свойства такого потока событий хорошо известны [3]: вероятность того, что за время 0 ≤ t ≤ T событие не произойдет (т.е. вероятность того, что на этом интервале времени дефолт не наступит), есть величина:

(4)

соответственно, вероятность наступления дефолта на этом промежутке времени равна 1-e^-λT, т.е. случайная величина T (время наступления дефолта или время «жизни» актива) имеет функцию распределения (которая по определению есть вероятность того, что на интервале времени 0 ≤ t ≤ T событие произойдет) F(T)= 1-e^-λT и показательную плотность распределения f(T)= λe^-λT.

С точки зрения математической статистки процесс дефолта актива ничем не отличается от процесса распада тяжелых элементов, например урана, который, как известно, характеризуется таким наглядным параметром как период полураспада. Если определить через Т_1/2 время, за которое обанкротится половина экономических субъектов, имеющих одинаковую интенсивность потока дефолтных событий λ, то Т_1/2 = ln(2)/λ, т.е. параметр λ равен натуральному логарифму двух, деленному на период времени, за который число компаний данного узкого класса надежности уменьшится в два раза (можно назвать это время периодом «полубанкротства»). В более общем случае мы получаем следующую формулу:

(5)

где Т_n/N – время, за которое обанкротится n компаний из включенных в статистическую выборку в начальный момент времени N компаний, имевших одинаковый показатель риска дефолта λ. Кроме всего прочего, формула (5) дает нам очень простой и наглядный способ оценки данного показателя.

4. Премия за риск дефолта при непрерывном дисконтировании.

Формула (1) позволяет сделать обобщение на случай непрерывного чистого денежного потока путем простых преобразований: N = T/τ, i = t/τ, R_τ = Rτ, Q_i = q(t)τ + , где R – годовая процентная ставка доходности базового актива, τ - длина инвестиционного шага в годах, уменьшаемая до бесконечно малой величины, а величина (/τ) → 0 при τ → 0. Тогда:

(6)

где q(t) – интенсивность потока прибыли, генерируемой базовым активом, R – ставка дисконтирования. Если q(t) (также как и для Q, данная величина, прогнозируемая инвестором, принимается здесь равной математическому ожиданию случайной величины {q(t)}) не зависит от времени и инвестиционный горизонт не ограничен, мы получаем известную формулу Гордона:

(7)

или в случае конечного инвестиционного горизонта T получаем:

(8)

Формула (7) определяет текущую стоимость актива в случае, когда дефолт не наступит никогда, т.е. фактически для безрискового актива, и R в формуле может быть заменено на R. Формула (8) дает нам стоимость актива в случае, если момент дефолта точно известен и он равен T. Однако точное время дефолта не известно заранее никому, но если известна интенсивность потока данного события λ, усредняя величину NPV из формулы (8) по T, имея ввиду (4) и следующую из нее плотность распределения вероятностей, получаем:

(9)

Эту же формулу можно получить, если в формуле (7) заменить R на λ+R, т.е. операцию усреднения по T (усреднение по множеству всех состояний, учитывающих вероятность дефолта) можно заменить операцией дисконтирования с премией за риск ΔR = λ. Таким образом, справедливая премия за риск оказывается точно равна интенсивности потока событий, приводящих к дефолту базового актива.

5. Премия за риск дефолта при непрерывном дисконтировании и дискретном денежном потоке.

На практике чистый денежный поток (или поток прибыли) q(t) не бывает непрерывным, поступления денежных средств и их расход всегда происходит в определенные моменты времени и имеет дискретный характер. Учет этого обстоятельства при непрерывном дисконтировании в формуле (6) в общем случае возможен следующим образом:

(10)

где Q_n – прибыль, получаемая в момент времени t_n, а δ - дельта функция Дирака. Необходимо напомнить, что в силу определения дельта функции, такое представление q(t) имеет смысл только при непрерывном дисконтировании по формуле (6). Подставляя (10) в (6) получаем:

(11)

Следует заметить, что переход от (1) к (11) при дискретном денежном потоке можно осуществить сразу, через предельный переход при τ→0. Дисконтирование по фактору e^-Rt в литературе еще называется дисконтированием при непрерывном начислении процентов [1]. Если инвестор получает прибыль от базового актива через одинаковые промежутки времени τ (что очень часто встречается на практике), формула (11) приобретает вид:

(12)

при N=∞ и Q_n=Q_τ=const, суммируя бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, получаем следующую формулу:

(13)

при R_τ = Rτ << 1 выражение (13) переходит в формулу (7) NPV = Q_τ/R_τ.

Окончательно определим теперь премию за риск дефолта при непрерывном дисконтировании и дискретном денежном потоке. Пусть NPV_n = Q_ne^-Rt_n. Найдем среднее значение этой величины, если интенсивность потока событий, приводящих к дефолту равна λ. Учитывая, что в этом случае вероятность получить доход Q_n дается формулой (9), получаем следующий результат (треугольные скобки <> обозначают усреднение с учетом вероятности дефолта):

(14)

Тогда легко находится среднее значение всего дисконтированного денежного потока:

(15)

Таким образом, как и в формуле (9), усреднение по множеству всех состояний, учитывающих вероятность дефолта, можно заменить дисконтированием с премией за риск равной λ. Таким образом, формула (2) окончательно сводится к выражению:

Так же хотелось бы подчеркнуть, что если в формулах (7) и (8) для вывода этой формулы пришлось ограничиваться величиной q, не зависящей от времени, то формулы (11)-(15) никаких подобных ограничений не содержат. Потому, учитывая, что реальное движение денежных средств всегда имеет дискретный характер, можно утверждать, что формула (16) является универсальной и может применяться для любой последовательности Q_n и любого актива, генерирующего денежный поток (кредиты, векселя, облигации, акции и т.д.).

6. Выводы.

Определение стоимости произвольного актива путем дисконтирования генерируемых им денежных потоков, наиболее точно определяемое по формулам непрерывного дисконтирования (6) и (11). При этом оказывается, что дисконтирование и усреднение приведенной стоимости актива с учетом вероятности дефолта абсолютно симметричны – потеря стоимости во времени и потеря стоимости от риска дефолта имеют одинаковую природу, что и находит отражение в формуле (16). Так же следует заметить, что в этом случае, так называемая «терминальная» стоимость должна определяться по формуле (13).

Сфера применимости данного подхода и формулы (16) очень широка, особенно при определении стоимости до погашения любого финансового инструмента с фиксированной доходностью: кредиты, депозиты, векселя, облигации с фиксированной купонной ставкой и т.д., для которых премия за риск может быть вычислена с высокой точностью достаточно простыми статистическими методами. Для этого необходимо корректно определить интенсивность потока событий, приводящих к дефолту данного конкретного актива.

Существенным плюсом при этом являются хорошо известные свойства пуассоновских потоков событий [4]. Например, общий поток событий может быть представлен как сумма потоков событий, имеющих различную природу (или источник). При этом, если мы разобьем исходный поток событий на N независимых потоков с интенсивностью λ_i каждый, то интенсивность результирующего потока определяется простым сложением:

(17)

т.е. фактически можно проводить декомпозицию общего риска дефолта по отдельным независимым факторам риска. Данная процедура является общепринятой в современном риск-менеджменте, однако здесь необходимо сделать важное замечание: в настоящей традиции риск разделяют по следующим факторам: отраслевой, региональный, страновой или суверенный риск и т.д. Но результаты настоящей работы дают достаточно четкое понимание, что декомпозицию следует проводить по вектору событий, которые независимо друг от друга могут привести к дефолту актива. Многие из данных событий могут иметь индивидуальный характер и не иметь никакой проекции в макроэкономические обобщения отрасли или страны. Современная статистика дает достаточное количество методов достоверной оценки λ_i на основании исторических данных. Необходимо аккуратно сформировать репрезентативную генеральную выборку похожих активов и провести статистический анализ (например, линейную регрессию). Простейшим методом оценки параметра λ может служить формула (5).

В настоящий момент существует достаточное количество моделей, оценивающих вероятность наступления дефолта. Например, кредитные рейтинги специализированных агентств, наиболее известными среди которых являются Moody’s, Standard&Poor’s и Fitch IBCA. Данные рейтинги (актуарные методы оценки вероятности дефолта) выражают мнение агентств о способности заемщика исполнять свои финансовые обязательства. Главными недостатками этих рейтингов являются неизбежная субъективность и качественный, а не количественный характер оценки вероятности дефолта. Для перевода рейтинга, например ААА, в конкретную вероятность дефолта необходимо проводить дополнительные исследования и вычисления. Вместо качественной характеристики и отнесения в определенную категорию надежности, для каждого оцениваемого контрагента рейтинговое агентство могло бы сразу оценивать величину параметра λ или совокупности λ_i, являющихся точной характеристикой оценки вероятности дефолта контрагента, и с помощью которых можно быстро оценить стоимость «риска» такого дефолта для остальных экономических субъектов, имеющих дело с данным контрагентом.

Другой известной моделью является упоминавшаяся в начале статьи Z-модель Альтмана и ее модификации. Результат данной работы однозначно свидетельствует о том, что модель Альтмана и подобные ей модели просто некорректны. Например, более поздние исследования, проведенные агентством Moody’s [6], явно свидетельствую о том, что вероятность дефолта по корпоративным облигациям увеличивается с их возрастом, что находится в полном согласии с формулой (4) и следующими из нее формулами в представленной работе.

В заключение необходимо сделать одно важное обобщение. Дефолт, как событие, является классическим случайным процессом, в простейшем случае зависящим от одного параметра λ – пуассоновской интенсивности потока событий, приводящих к дефолту. В общем случае λ может не быть константой и меняться со временем. Тогда для определения вероятности (4) можно поступить следующим образом: пусть n(t) – количество одинаково распределенных случайных процессов, дефолт (или гибель) которых определяется пуассоновским потоком событий с одинаковой интенсивностью λ(t) и n(0)=N. Тогда для n(t) можно написать очевидное дифференциальное уравнение (величина (-dn)/n по определению есть вероятность дефолта на интервале времени dt, которая по определению величины λ равна λ(t)dt):

(18)

Разделив его на N и учитывая, что по определению вероятность p обнаружить любую из данных случайных величин в момент времени t в состоянии, отличном от дефолта, равна n/N, из (18) получаем обобщение формулы (4):

p = e-Λ(t), где Λ(t)=

(19)

Тогда для случайной величины T, назовем ее срок наступления дефолта, в общем случае получаем следующее выражение для плотности распределения:

f(t)λ(t)e-Λ(t)

(20)

Список литературы.

1. Энциклопедия финансового риск-менеджмента под ред. А.А.Лобанова, А.В.Чугунова. - М.: Альпина Паблишер, 2003.
2. Управление финансами предприятия / В.П.Савчук, - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.
3. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2003.
4. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. – М.: издательский центр «Академия», 2003.
5. Managing credit risk: The next great financial challenge / Cauoette J.B., Altman E.I., Narayanan P. – L.: John Wiley & Sons, Inc., 1998.
6. Historical default rates of corporate bond issuers, 1920-1999. Special comment / Moody’s Investors Service, 2000, January.

Copyright © 2009 Обжиров Е.А.